上一篇「理髮師的困境」裡用了Diagonalization的方法證明這個世界上實數比自然數(零加上正整數)還要多。這一篇要討論什麼呢?那–就–是:這個世界上有理數是不是也和實數一樣,比自然數還要多?
如果你忘記什麼叫做有理數的話,有理數的定義是這樣的:可以代表兩個整數之間比例的數,例如 2/3 是個有理數,因為 2 和 3 都是整數。(叉題一下,有理數的英文是 rational number, 其實應該要翻成「比例數」才對,因為 rational 除了有「理性的」意思以外,也有「符合比例 (ratio) 的 」這個意思,但是第一個中文翻譯的人大概數學不太好,就…)

我們先來算一算吧,自然數有 0, 1, 2, 3, 4,  .....  有理數有 0, ..., 1/4, 1/3, 1/2, ...., 1, ..., 5/4, 4/3, 3/2, ...., 2, .... 所以,有理數比自然數多吧!但是,這文章的標題叫做「自然數和有理數的驚人事實」,難道是自然數比有理數多?

在這裡要先賣個關子,因為要了解數學家怎麼去思考這個問題,必需要先了解什麼叫做一對一對應性(One-to-one correspondence)。讓我用下面這個簡單的例子介紹這個概念:

小明和小華在下課時打彈珠,他們有天心血來潮,想知道現在誰的彈珠比較多。小明提議說:「那我們各自算自己的彈珠有多少,然後比大小。」小華說:「這樣太麻煩了,不如你出一顆我出一顆,看誰的彈珠先出完,就知道誰多誰少啦。」小華提議的這個方法,完全不需要知道他們兩個人各自有多少顆彈珠,也能得到誰彈珠多的正確答案,他用的就是一對一對應的概念。這個概念在我們需要比較數量是無限多的集合上(像是自然數的數目)是非常重要的。

接下來是進階級一對一對應的例子囉:

1. 偶數的數目和奇數的數目是不是一樣多呢?是的,因為每一個偶數加一都可以對應到一個奇數,例如 4 可以對到 5。
2. 正整數和正偶數的數目是不是一樣多呢?是的,因為每個正整數乘以 2 都可以相對應到一個正偶數,像是 11 對應到 22。

看到第二個例子是不是有點困惑啊,正偶數的數目不是應該是正整數的一半嗎?當然,如果我們是算從 1 到 1000000000000000 的話,偶數的數目的確是整數的一半,但是當要延伸到無限大的時候,無限的魔法就出現啦,因為無論是多麼大的正整數,我們都可以將它乘以 2 得到它相對應的偶數。而根據一對一對應性,既然我們總是可以找到相對應的偶數(就像小明出一顆彈珠,小華也出一顆彈珠),就證明了正整數和正偶數的數目是一樣多的。

經過了進階級的考驗,超級賽亞人終於要變身啦!

一對一對應性的概念是由康特爾 (Georg Cantor) 這個數學家在西元1874年提出的,他在1878年的文章裡又證明了自然數( N )到二維自然數組 (N2) 是一對一對應的。什麼是二維自然數組呢?就是二維座標上兩個自然數所標出的位置,如下圖的(1, 1) 、(2, 3)  這些點。,康特爾巧妙地安排了一個一對一對應方法,從0 開始,0 對應到二維的 (0,0), 1 對應到 (1,0),  2 對應到 (0,1), 3 ↔ (2,0), 4 ↔ (1,1), 5 ↔ (0,2), 6 ↔ (3,0), .....以此類推,將這些點依序連起來,會呈現45度斜角的鋸齒擴大,下圖是更清楚的圖示,可以看到 0 到 24 的自然數怎麼被一對一的排列到二維的(X, Y) 值上,例如 24 對應到 (3,3)。這樣,每一個自然數就有一個相對應的二維自然數組,因此,(一維的)自然數和二維的自然數組的數目是一樣多的。

既然自然數和二維的自然數組的數目是一樣多的,接下來就容易了,只要把二維數組裡的第一個數當成分子,第二個數當成分母,很容易就達成了 (X, Y) 到有理數 X/Y 的一對一對應,因此,「有理數是不是比自然數還要多?」答案就是:有理數的數目和自然數的數目是一樣多的!


picture from:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/Pairing_natural.svg


這個答案是不是和你一開始想的完全不一樣呢?事實上,證明了這個答案的數學家康特爾也對自己 的這項發現感到十分驚訝,他在給好友Dedekind的信上這樣寫著:「我看見了,但是我不相信!」(I see it, but I don't believe it!) 當先知者果然並不容易啊。康特爾發表這些文章的時候,同時期的數學家對他的研究成果一直心存抗拒,那時柏林大學數學系系主任也曾是康特爾的老師的 Kronecker 甚至公開地指責康特爾的想法會「污染了年輕的一代」,康對此事一直梗梗於懷。在1885年,當時康特爾友好的一個數學期刊總編建議他不要發表一篇論文,因為他認為康特爾的文章「超前了時代100年」"… about one hundred years too soon."  但是康特爾暴怒地將這視為故意的侮辱,這時候他的精神狀態有異已現端倪,並且終於其一生,都受到躁鬰症(bipolar disorder)的糾纏。所幸,他的研究成果在十多年後開始漸漸受到全世界的重視,1911年還受邀為蘇格蘭的聖安卓大學 500 年校慶的傑出外國學者。(註:聖安卓大學是英語系世界裡第三老的大學)

康特爾的數學裡最讓我著迷的,是他對於「無限」這個概念的想像和研究。以前我只知道 是無限大,從來不知道無限大也是有等級之分的,例如原來「實數數目的無限大自然數數目的無限大更大」。康特爾的研究讓「無限」從哲學的領域進入數學的領域,從形而上的談論變成可以用數學式來描述的理論,為後代的人開創了在無限大的范疇裡思考的邏輯與方法。


康特爾 Georg Cantor (1845-1918),德國數學家

延伸閱讀:
- 從沙中可以見到世界嗎? by 陳昱成
- Wikipedia: Georg Cantor



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  • 想睡覺
  • 不懂

    文中提到"只要把二維數組裡的第一個數當成分子,第二個數當成分母,很容易就達成了 (X, Y) 到有理數 X/Y 的一對一對應"

    請問 1.(0,1) (0,2) (0,3) ......,0/Y=0 這樣的對應有意義嗎?
    2.(1,0) (2,0) (3,0) ...... ,X/0 有意義嗎?
    3.(1,1) (2,2) (3,3) ...... ,X/Y=1 這樣可以對應?
    4.分數可以約分成最簡分數

    所以 ... 應該是自然數比有理數多??
    怪怪的.
  • 這是個好問題,我在這篇文章裡省略了怎麼從「2維自然數組」一對一對應到「可代表有理數的2維自然數組」的這個步驟,因為這些會牽涉到一些對應上的細節來避掉你提出的這些問題,我不希望這些細節讓大家還沒看到康特爾介紹那一段就閃人了,畢竟我寫這篇文章的用意就是為了介紹偶像嘛。

    所以讓我在這邊把細節補上。首先,有理數的分母是不可以為零的,還有1/1=2/2…等等這些要怎麼解決呢?

    綜合上面的疑問,代表的是,如果我們將所有的二維數組(n1, n2)從小到大排好,所有可表示為的有理數的二維數組(n1',n2')也排好,第i個(n1, n2) 不等於 第i個 (n1', n2'),但是,根據康特爾提供的邏輯,有沒有一個一對一對應的方程式 (n1',n2')=f(n1,n2) ,如果有,那麼,(n1', n2') 的數目就和 (n1, n2)的數目一樣多,就像我在進階級的對應裡舉的兩個一維到一維(N->N) 的例子一樣。

    我先把 (n1',n2')=f(n1,n2)的前幾個對應寫出來

    (0,0) -> (0,1)
    (1,0) -> (1,1)
    (0,1) -> (2,1)
    (2,0) -> (1,2)
    (1,1) -> (3,1)
    (0,2) -> (1,3)
    (3,0) -> (4,1)
    ....

    事實上對應方法 f 不只一個。


    另外一種邏輯呢,是不去把 (n1',n2')=f(n1,n2) 的細節寫出來,但是證明這個方程式必然存在。其實這也是一個非常重要的題目,將這個題目發展成理論的人就是圖靈(Turing),他的理論用了許多康特爾提出的概念。圖靈可是電腦學界(CS)裡頂頂大名的人物呢,以他為名的圖靈獎等同於CS的諾貝爾獎,下次有空時,我也想介紹圖靈的研究。

    ironsnow 於 2007/11/29 09:16 回覆

  • Jessie
  • 阿姊太強啦!這些東西妳是自己唸來的喔?多寫點多寫點,看得醍醐灌頂啊!
  • 這是我這學期TA的課上的東西 plus wiki ,是低年級的課喔。

    ironsnow 於 2007/12/19 04:13 回覆

  • Alex Wu
  • google搜尋資料時意外的看到這篇標題,點近來發現挺有趣的,給個推!
  • 悄悄話