今天去圖書館借書,在我想借的書旁邊看到一本叫做「數學家的心靈」的書,書名很吸引人,就順便借了回來。下午等待實驗結果之餘,看了這本書的序,寫序的人盛讚這本書的作者賈桂斯.哈達馬得 ( Jacques Hadamard ) 對數學的貢獻,就上網查了一下,哈達馬得何許人也。一查之下,才發現他就是鼎鼎大名的「質數定理 (Prime number theorem) 」的證明者,而「數學家的心靈」也是一本開認知科學先趨的書。書還沒讀完,沒辦法分享,不過和哈達馬得先生這麼有緣,來介紹一下他到底證明了什麼。

大家還記得質數是什麼嗎?就是除了 1 和自己以外,不能被分解成別的數連乘的數。例如 31 是質數,但是 33 = 3*11 就不是質數。

小時候學質數,阿雪認為一定沒有很大很大的質數,因為一個數要是是質數就不能被任何比它小的數分解,那麼越大的數字,比它小的數就越多,要找到能分解它的數不就越來越容易,這就和越有錢的男人單身的機率就越靠近零一樣的道理嘛。由此可知,鐵頭沒有做數學家的天分。

很早以前,數學家就發現了質數的數目是不斷增加的,而且增加的方法有一定的規律。比較容易理解的例如1845年 柏萃德假說 (Bertrand's postulate) ,說每個大於 1 的數 n 與它的兩倍之間必有質數,換句話說,我們隨便找一個很大的數 358,022,361,920,從 358,022,361,920 到它的兩倍 716,044,723,840 之間一定有質數。

比較高深的就是哈達馬得在1896年證明的質數定理, π(x) 指的是從 1 到 x 的質數數目




這個式子講的是質數在某個很大的數值 N 附近出現的機率是 1/ln(N), 例如 358,022,361,920 這個數附近的數,出現質數的機率約是 0.0376,欸,就是它附近的 100 個數有 3.76 個質數,這個比例是不是比你想像的要高出許多呢?

不過哈達馬得的證明並不是憑空得來的,更早之前,數學家雷曼 (Riemann) 在1859的研究報告 On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude 建議了一個全新的方法,哈達馬得和另一個數學家 de la Vallée Poussin 都根據雷曼的方法,在同一年分別證明了質數定理呢!由此可知不只是明星才會撞衫,科學家也會撞 idea 喔!

但是我們知道這世界上質數比我們想像得多有什麼用呢?啊,心虛,我也只知道一個應用,就是密碼學裡的 RSA 演算法,別小看這個演算法喔,大家應該常常用到要加密的網路,就是開頭不是 http:// 而是 https:// 的那種,每次你開啟這樣的網頁,RSA 演算法就在默默的保護著你呢。


ps: 搜尋了一下相關的中文資料,發現台灣有出版 質數魔力(上、下),不知道內容如何,有人讀過嗎?

ps2: 如果你對數學真的很有興趣,可以看這篇「漫談質數」。

ps3: 「數學家的心靈」這本書全名是:The Mathematician's Mind -- The Psychology of Invention in the Mathematical Field
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留言列表 (3)

發表留言
  • Ariel
  • 怎麼辦? 我覺得這篇有點"冷"
    such as "由此可知不只是明星才會撞衫,科學家也會撞 idea 喔!" and "每次你開啟這樣的網頁,RSA 演算法就在默默的保護著你呢。" -_-!!!哈哈哈



    我一直以為世界有數不清的質數, 因為數字可以無限, 總是有數字只能被1整除吧! 就像世界上有這麼多的男生, 總是會有一個有錢又單身的. (又沒說他不是geek, nerd or freak) :P
  • 想了好久才想出那些梗讓數學不那麼無聊耶,唉~~還是失敗了。

    呵呵,第二段你在講 Beauty and Geek 嗎?

    ironsnow 於 2008/01/24 14:34 回覆

  • Ariel
  • 別難過
    我有把數學理論看完喔
  • It's too late. My heart is broken and it can only be fixed by 美味肉燥 :P

    ironsnow 於 2008/01/25 15:05 回覆

  • SeeH
  • 金銀島

    來一個海盜問題:
    有五個海盜一起到金銀島,得到100枚金幣。分配的法則是由第一位海盜分配,如果有超過半數的海盜表示異議,就把分配的海盜丟下水去餵鯊魚,然後改由第二位海盜來分配,規則依此類推。
    假設海盜都非常聰明且追求自身最大利益,身為第一位分配者的海盜鐵雪,會分到多少金幣?
  • 這個問題我在 Google interview questions 裡看過喔,網路上各家公司面試問題的題庫還不少呢。

    答案我先不爆雷…不過有人說:海盜要是那麼聰明的話,他就會去加入英國海軍 Orz.

    ironsnow 於 2008/02/27 14:07 回覆

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