自然數和有理數的驚人事實－iron．snow．ball

上一篇「理髮師的困境」裡用了Diagonalization的方法證明這個世界上實數比自然數（零加上正整數）還要多。這一篇要討論什麼呢？那–就–是：這個世界上有理數是不是也和實數一樣，比自然數還要多？
如果你忘記什麼叫做有理數的話，有理數的定義是這樣的：可以代表兩個整數之間比例的數，例如 2/3 是個有理數，因為 2 和 3 都是整數。（叉題一下，有理數的英文是 rational number, 其實應該要翻成「比例數」才對，因為 rational 除了有「理性的」意思以外，也有「符合比例 (ratio) 的」這個意思，但是第一個中文翻譯的人大概數學不太好，就…）

我們先來算一算吧，自然數有 0, 1, 2, 3, 4, ..... 有理數有 0, ..., 1/4, 1/3, 1/2, ...., 1, ..., 5/4, 4/3, 3/2, ...., 2, .... 所以，有理數比自然數多吧！但是，這文章的標題叫做「自然數和有理數的驚人事實」，難道是自然數比有理數多？

在這裡要先賣個關子，因為要了解數學家怎麼去思考這個問題，必需要先了解什麼叫做一對一對應性（One-to-one correspondence）。讓我用下面這個簡單的例子介紹這個概念：

小明和小華在下課時打彈珠，他們有天心血來潮，想知道現在誰的彈珠比較多。小明提議說：「那我們各自算自己的彈珠有多少，然後比大小。」小華說：「這樣太麻煩了，不如你出一顆我出一顆，看誰的彈珠先出完，就知道誰多誰少啦。」小華提議的這個方法，完全不需要知道他們兩個人各自有多少顆彈珠，也能得到誰彈珠多的正確答案，他用的就是一對一對應性的概念。這個概念在我們需要比較數量是無限多的集合上（像是自然數的數目）是非常重要的。

接下來是進階級一對一對應的例子囉：

1. 偶數的數目和奇數的數目是不是一樣多呢？是的，因為每一個偶數加一都可以對應到一個奇數，例如 4 可以對到 5。
2. 正整數和正偶數的數目是不是一樣多呢？是的，因為每個正整數乘以 2 都可以相對應到一個正偶數，像是 11 對應到 22。

看到第二個例子是不是有點困惑啊，正偶數的數目不是應該是正整數的一半嗎？當然，如果我們是算從 1 到 1000000000000000 的話，偶數的數目的確是整數的一半，但是當要延伸到無限大的時候，無限的魔法就出現啦，因為無論是多麼大的正整數，我們都可以將它乘以 2 得到它相對應的偶數。而根據一對一對應性，既然我們總是可以找到相對應的偶數（就像小明出一顆彈珠，小華也出一顆彈珠），就證明了正整數和正偶數的數目是一樣多的。

經過了進階級的考驗，超級賽亞人終於要變身啦！

一對一對應性的概念是由康特爾 (Georg Cantor) 這個數學家在西元1874年提出的，他在1878年的文章裡又證明了自然數( N )到二維自然數組 (N²) 是一對一對應的。什麼是二維自然數組呢？就是二維座標上兩個自然數所標出的位置，如下圖的(1, 1) 、(2, 3) 這些點。，康特爾巧妙地安排了一個一對一對應方法，從0 開始，0 對應到二維的 (0,0)， 1 對應到 (1,0), 2 對應到 (0,1), 3 ↔ (2,0), 4 ↔ (1,1), 5 ↔ (0,2), 6 ↔ (3,0), .....以此類推，將這些點依序連起來，會呈現45度斜角的鋸齒擴大，下圖是更清楚的圖示，可以看到 0 到 24 的自然數怎麼被一對一的排列到二維的(X, Y) 值上，例如 24 對應到 (3,3)。這樣，每一個自然數就有一個相對應的二維自然數組，因此，（一維的）自然數和二維的自然數組的數目是一樣多的。

既然自然數和二維的自然數組的數目是一樣多的，接下來就容易了，只要把二維數組裡的第一個數當成分子，第二個數當成分母，很容易就達成了 (X, Y) 到有理數 X/Y 的一對一對應，因此，「有理數是不是比自然數還要多？」答案就是：有理數的數目和自然數的數目是一樣多的！

picture from：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/Pairing_natural.svg

這個答案是不是和你一開始想的完全不一樣呢？事實上，證明了這個答案的數學家康特爾也對自己的這項發現感到十分驚訝，他在給好友Dedekind的信上這樣寫著：「我看見了，但是我不相信！」(I see it, but I don't believe it!) 當先知者果然並不容易啊。康特爾發表這些文章的時候，同時期的數學家對他的研究成果一直心存抗拒，那時柏林大學數學系系主任也曾是康特爾的老師的 Kronecker 甚至公開地指責康特爾的想法會「污染了年輕的一代」，康對此事一直梗梗於懷。在1885年，當時康特爾友好的一個數學期刊總編建議他不要發表一篇論文，因為他認為康特爾的文章「超前了時代100年」"… about one hundred years too soon." 但是康特爾暴怒地將這視為故意的侮辱，這時候他的精神狀態有異已現端倪，並且終於其一生，都受到躁鬰症（bipolar disorder）的糾纏。所幸，他的研究成果在十多年後開始漸漸受到全世界的重視，1911年還受邀為蘇格蘭的聖安卓大學 500 年校慶的傑出外國學者。（註：聖安卓大學是英語系世界裡第三老的大學）

康特爾的數學裡最讓我著迷的，是他對於「無限」這個概念的想像和研究。以前我只知道 ∞ 是無限大，從來不知道無限大也是有等級之分的，例如原來「實數數目的無限大比自然數數目的無限大更大」。康特爾的研究讓「無限」從哲學的領域進入數學的領域，從形而上的談論變成可以用數學式來描述的理論，為後代的人開創了在無限大的范疇裡思考的邏輯與方法。

康特爾 Georg Cantor (1845-1918)，德國數學家